Задание 14. Математика ЕГЭ. В правильной треугольной призме найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.Задание. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 5, боковые ребра равны 2, точка D – середина ребра CC1. а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и ADB1. б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1. Решение: а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и ADB1. Построим плоскость ADB1. Точки A и B1 лежат в одной плоскости, проведем прямую AB1. Точки A и D лежат в одной плоскости, проведем прямую AD. Точки D и B1 лежат в одной плоскости, проведем прямую DB1. Получили сечение плоскостью ADB1. Построим прямую пересечения плоскостей ABC и ADB1. Так как прямая B1D и прямая BC лежат в одной плоскости BCC1, то они пересекаются в точке К. Точка К лежит в плоскостях АВС и ADB1. Точки К и А лежат в плоскостях АВС и ADB1, следовательно, плоскости ABC и ADB1 пересекаются по прямой AК. Искомая прямая пересечения плоскостей ABC и BED1 построена. б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1. Отрезок DC перпендикулярен плоскости АВС, из точки D опустим перпендикуляр DH на прямую AК. Точка H лежит в плоскости АВС, тогда CH – проекция наклонной DH на плоскость АВС. Через точку H проходит прямая AK, перпендикулярная наклонной DH, тогда по теореме о трех перпендикулярах отрезок CH перпендикулярен прямой AК. Угол ∠DHC является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и ADB1. Угол ∠DHC – искомый угол между плоскостями ABC и ADB1. Найдем величину этого угла. Рассмотрим прямоугольный треугольник DHC (∠C = 90˚): Так как точка D – середина отрезка CC1, то DC = DC1 = 1. Треугольники DCK и DC1B1 подобны, тогда CK = 5 Так как призма ABCA1B1C1 – правильная, то ∠ACB = 60°. Углы ∠ACB и ∠ACК – смежные углы, тогда ∠ACК = 120°. Так как AC = CK = 5, то треугольник ACK – равнобедренный треугольник и CH – высота и биссектриса. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH – прямоугольный (∠H = 90˚). Угол ∠ACH = 60°, ∠CAH = 30°. По свойству прямоугольного треугольника: против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенуза, получим Тогда Ответ:
Понравилось? Нажмите
Оставить комментарий |
Рубрики
|