Задание 16. Математика ЕГЭ. На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.Задание. На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD. а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный. б) Известно, что cos∠АВС = 1/5. В каком отношении прямая DL делит сторону АВ? Решение: а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный. Пусть угол ∠LBC = α, так как BL – биссектриса угла ∠АВС, то угол ∠LBC = ∠LBA = α и угол ∠АВС = 2α. По условию треугольник ∆АВС – равнобедренный, тогда ∠АВС = ∠АСВ = 2α. Треугольник ∆BDL – равнобедренный, тогда угол ∠LDC = ∠LBC = α. Угол ∠LСВ – внешний угол треугольника ∆LDC, он равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним, т. е. ∠LСВ = ∠LDC + ∠DLC 2α = α + ∠DLC ∠DLC = α Итак, ∠LDC = ∠DLC = α, следовательно, треугольник ∆DCL равнобедренный. б) Известно, что cos∠АВС = 1/5. В каком отношении прямая DL делит сторону АВ? Проведем высоту АН в треугольнике ∆АВС, рассмотрим прямоугольный треугольник ∆АВН: По условию Тогда АВ = 5ВН ВС = 2ВН Так как BL – биссектриса треугольника ∆АВС, то отношение отрезков, на которые она делит сторону АС, равно отношению прилежащих сторон (свойство биссектрисы треугольника): Тогда Рассмотрим треугольники ∆BMD и ∆CLВ: ∠LCB = ∠MBC, ∠LDB = ∠LBC. Следовательно, треугольники ∆BMD и ∆CLВ – подобные треугольники, тогда Так как треугольник ∆DCL равнобедренный и LC = DС, то BD = BC + DC = BC + LC, тогда Разделим обе части равенства на АВ: Найдем отношение, в котором прямая DL делит сторону АВ: Ответ: 25/24
Понравилось? Нажмите
Оставить комментарий |
Рубрики
|