Задание 16. Математика ЕГЭ. В равнобедренном треугольнике ABC на сторону BC опущена высота AH. ИЗ точки H на стороны AB и AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.

Задание. 

В равнобедренном треугольнике ABC на сторону BC опущена высота AH. ИЗ точки H на стороны AB и AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.

а) Докажите, что AM = MK.

б) Найдите MK, если AB = 10, AC = 12.

Решение:

а) Докажите, что AM = MK.

Так как, угол AKH = 90⁰, угол AMH = 90⁰, тогда отрезок AH виден из точек K и M под углом 90⁰. Поэтому точки A, M, K и H лежат на окружности, диаметром которой является отрезок AH (см. рис.1).

Угол AKM — вписанный в окружность угол, который опирается на дугу AM. Угол AHM — вписанный в окружность угол, который опирается на дугу AM. Следовательно, угол AKM равен углу AHM. Т.е.

Треугольник ΔAHC – прямоугольный, тогда

(1)

Треугольник ΔAHM – прямоугольный, тогда

(2)

Из (1) и (2) равенства имеем, что

Так как треугольник ΔABC – равнобедренный (AB = BC), то

Получаем, что

Тогда в треугольнике ΔAKM:

Получаем, что треугольник ΔAKM – равнобедренный и AM = MK.

б) Найдите MK, если AB = 10, AC = 12.

 Рассмотрим треугольник ΔAMH – прямоугольный, угол AHM = α:

(1)

Рассмотрим треугольник ΔABP – прямоугольный:

BP² = AB² – AP²

BP² = 10² – 6² = 64

BP = 8

Угол BAP = α

Найдем площадь треугольника ΔABC:

S_ABC = (1/2)·12·8 = 48

С другой стороны, площадь треугольника ΔABC можно найти

Тогда, AH = 2· S_ABC/BC

AH = (2·48)/10 = 96/10=48/5

Подставим полученные значения в равенство (1), получаем:

Так как ранее было доказано, что MK = AM, то МК = 192/25.

Ответ: 192/25

Понравилось? Нажмите