Задание 14. Математика ЕГЭ. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, сторона AB основания которой равна 50, а боковое ребро BB1 равно 5√3.Задание. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, сторона AB основания которой равна 50, а боковое ребро BB1 равно 5√3. На ребрах AB и B1C1 отмечены точки K и L соответственно, причем AK = 10; B1L = 38. Точка M – середина ребра A1C1. Плоскость γ проходит через точки K и L и параллельна прямой AC. а) Докажите, что плоскость γ перпендикулярна прямой BM. б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка M, а основанием – сечение данной призмы плоскостью γ. Решение: a) Докажите, что плоскость γ перпендикулярна прямой BM. Проведем через точки K и L прямые, параллельные AC. Эти прямые пересекают ребро BC в точке K1 и ребро A1B1 в точке L1 (см. рис. 1). Тогда равнобедренная трапеция KL1LK1 является сечением призмы ABCA1B1C1 плоскостью γ. Рассмотрим плоскость BB1M. Эта плоскость пересекает прямую AC в точке N, прямую KK1 в точке E и прямую LL1 в точке F. Четырехугольник BB1MN – прямоугольник. Рассмотрим прямоугольный треугольник A1MB1. MB1 = A1B1·sin600 MB1 = NB = 25√3. Рассмотрим прямоугольный треугольник MB1B. По теореме Пифагора найдем MB. MB2 = MB12 + BB12 MB2 = (25√3)2 + (5√3)2 = 1950 = 25·78 MB = 5√78. По теореме Фалеса: NE : NB = AK : AB = 10 : 50 = 1 : 5 NE : NB =1 : 5 NE = NB/5 NE = (25√3)/5 = 5√3. По теореме Фалеса: B1F : MB1 = B1L : B1C1 = 38 : 50 = 19 : 25. B1F : MB1 = 19 : 25. B1F = 19·MB1/25 B1F = (19·25√3)/25 = 19√3. Проведем KS параллельно AA1. Рассмотрим прямоугольный треугольник KSL1: KS = AA1 = 5√3 SL1 = A1L1 — A1S A1L1 = A1B1 — B1L = 50 – 38 = 12 A1S = AK = 10 SL1 = 2 По теореме Пифагора: KL12 = KS2 + SL12 KL12 = (5√3)2 + 22 = 79 KL1 = √79 Треугольник ABC и треугольник KBK1 подобные треугольники, значит AC : KK1 = AB : KB 50 : KK1 = 50 : 40 KK1 = 40. Треугольник A1B1C1 и треугольник L1BL подобные треугольники, значит A1C1 : LL1 = A1B1 : B1L1 50 : LL1 = 50 : 38 LL1 = 38. Рассмотрим равнобедренную трапецию KL1LK1, EF – высота трапеции. Проведем PL1 параллельно EF, тогда KP = (KK1 — LL1)/2 = 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник KPL1. По теореме Пифагора: PL12 = KL12 – KP2 PL12 = (√79)2 — 12 = 79 — 1 =78 EF = PL1 = √78. Рассмотрим рисунок 2. Из прямоугольного треугольника MBB1: Из прямоугольного треугольника TEF: Рассмотрим треугольник MFO: То есть прямые MB и EF перпендикулярны. Прямая KK1 параллельна прямой АС, которая перпендикулярна плоскости BB1M. Значит, прямые KK1 и EF перпендикулярны прямой MB, поэтому прямая MB перпендикулярна плоскости γ. б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка M, а основание – сечение данной призмы плоскостью γ. Смотри рисунок 3. Объем пирамиды равен: Так как MB перпендикулярна плоскости сечения γ, то MO — высота пирамиды. Рассмотрим треугольник MEF (рис. 2). Найдем площадь этого треугольника: TE = BB1, MF =MB1 — B1F = 25√3 — 19√3 = 6√3 Площадь треугольник MEF можно найти другим способом: MO = 2S/EF Площадь основания пирамиды — это площадь сечения, т.е. площадь трапеции KL1LK1. Ответ: 1170
Понравилось? Нажмите
Оставить комментарий |
Рубрики
|