Задание 14. Математика ЕГЭ. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 4. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 1 : 3. Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и BED1. Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.Задание. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 4. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 1 : 3. а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и BED1. б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1. Решение: а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и BED1. Построим плоскость BED1. Точки E и D1 лежат в одной плоскости, поэтому проведем прямую ED1. Точки Е и В лежат в одной плоскости, поэтому проведем прямую ЕВ. Так грани правильной четырехугольной призмы параллельны, проведем в грани ВВ1С1С прямую BF параллельно прямой ED1. Точки F и D1 лежат в одной плоскости, поэтому проведем прямую FD1. Получили искомую плоскость BED1. Так как прямая ED1 и прямая AD лежат в одной плоскости ADD1, то они пересекаются в точке К, лежащей в плоскости АВС. Точки К и В лежат в плоскостях АВС и BED1, следовательно, плоскости ABC и BED1 пересекаются по прямой КВ. Искомая прямая пересечения плоскостей ABC и BED1 построена. б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1 Отрезок АE перпендикулярен плоскости АВС, из точки Е опустим перпендикуляр EH на прямую КВ. Точка H лежит в плоскости АВС, тогда AH – проекция EH на плоскость АВС. Через точку H проходит прямая, перпендикулярная наклонной EH, тогда по теореме о трех перпендикулярах отрезок AH перпендикулярен прямой КВ. Угол ∠EHA является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и BED1. Угол ∠EHA – искомый угол между плоскостями ABC и BED1. Найдем величину этого угла. Рассмотрим прямоугольный треугольник EHA (∠А = 90˚): По условию AE : EA1 = 1 : 3, тогда AE : AA1 = 1 : 4. Получим Треугольники AKE и A1D1E подобны, тогда A1D1 = 3, AE = 1, A1E = AA1 – AE = 3 AK = 1 Рассмотрим прямоугольный треугольник AKB (∠А = 90˚): KB2 = AK2 + AB2 KB2 = 12 + 32 = 10 KB = √10 Найдем AH: Тогда Ответ:
Понравилось? Нажмите
Оставить комментарий |
Рубрики
|