Задание 16. Математика ЕГЭ. Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках С1, В1 и А1 соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника АВ1С1.Задание. Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках С1, В1 и А1 соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника АВ1С1. а) Докажите, что С1Q – биссектриса угла АС1В1. б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник АС1В1, если известно, что ВС = 7, АВ = 15, АС = 20. Решение: а) Докажите, что С1Q – биссектриса угла АС1В1.
Рассмотрим треугольники ∆AB1Q и ∆AC1Q: AQ – общая сторона, ∠B1AQ = ∠C1AQ. Следовательно, ∆AB1Q = ∆AC1Q и B1Q = C1Q. Получим, что ∆QB1C1 – равнобедренный и ∠QB1C1 = ∠QC1B1. Угол ∠QB1C1 – вписанный в окружность угол, он равен половине дуги, на которую он опирается, т. е. Так как АВ – касательная к окружности и QC1 – хорда окружности, то угол между хордой и касательной окружности, проведенной через конец хорды, равен половине дуги, лежащей внутри этого угла, т. е. Получим, что угол ∠QB1C1 = ∠QC1А. Так как ∠QB1C1 = ∠QC1B1, то ∠QC1А = ∠QC1B1. Значит, С1Q – биссектриса угла АС1В1. б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник АС1В1, если известно, что ВС = 7, АВ = 15, АС = 20. Так как AQ и C1Q – биссектрисы треугольника ∆AB1C1, тогда точка пересечения биссектрис Q – центр вписанной в треугольник ∆AB1C1 окружности. Точка Q – точка пересечения биссектрисы AQ и окружности с центром О, то расстоянием от точки О до точки Q – центра окружности, вписанной в треугольник ∆AB1C1 является OQ – радиус окружности с центром О, вписанный в треугольник ∆АВС. P = AB + BC + AC P = 15 + 7 + 20 = 42 Площадь треугольника ∆АВС найдем по формуле Герона: Итак, OQ = r = 2 Ответ: 2
Понравилось? Нажмите
Оставить комментарий |
Рубрики
|