Задание.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA  равно 4. Точки M и N – середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN  и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α  делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.

б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

Решение: читать далее…

Задание.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA  равно 8. Точки M и N – середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN  и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α  делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.

б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка С, а основанием – сечение пирамиды SABC плоскостью α.

Решение: читать далее…

Задание.

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = √11 и BC = 2√3. Длины боковых ребер пирамиды SA = 5, SB = 6, SD = √37.

а) Докажите, что SA – высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.

Решение: читать далее…

Задание.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 5. На его ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB =4. Через точки K и C₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD₁.

а) Докажите, что A₁P:PB₁ = 3:1, где P – точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB₁C₁C.

 Решение: читать далее…

Задание.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA  равно 13. Точки M и N – середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN  и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α  делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.

б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

 Решение: читать далее…