Задание 16. ЕГЭ. Точка О – центр вписанной в треугольник АВС окружности.Задание. Точка О – центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Р. а) Докажите, что ∠РОА = ∠РАО. б) Найдите площадь треугольника АРО, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 6, ∠ВАС = 750, ∠АВС = 600. Решение: а) Докажите, что ∠РОА = ∠РАО. Так как точка О – центр вписанной в треугольник ΔАВС окружности, то она является точкой пересечения биссектрис АО, ВО и СО треугольника ΔАВС. Угол ∠РОА – внешний угол треугольника ΔАВО, тогда ∠РОА равен сумме двух углов треугольника ΔАВО, не смежных с ним, т. е. ∠РОА = ∠ВАО + ∠АВО Так как АО – биссектриса угла ∠А треугольника ΔАВС, то Так как BО – биссектриса угла ∠B треугольника ΔАВС, то Получим Угол ∠РАО равен: ∠РАО = ∠ОАС + ∠РАС Угол ∠ОАС = ∠ВАО (АО – биссектриса). Угол ∠РАС – вписанный в окружность угол, который опирается на дугу ᴗРС. На дугу ᴗРС также опирается угол ∠РВС = ∠АВО (BО – биссектриса). Значит, ∠РАО = ∠ВАО + ∠АВО, т.е. Следовательно, ∠РОА = ∠РАО. б) Найдите площадь треугольника АРО, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 6, ∠ВАС = 750, ∠АВС = 600. В треугольнике ΔАВР угол ∠ВАР = ∠ВАС + ∠РАС. Угол ∠ВАС = 750, ∠РАС =∠РBC = ∠АВО = 300 (BО – биссектриса), тогда ∠ВАР = 750 + 300 = 1050. Так как сумма углов треугольника равна 1800, тогда ∠АРВ = 1800 – (∠РАВ + ∠ВАР) = 1800 – (1050 + 300) = 450 Около треугольника ΔАВР описана окружность с радиусом R = 6 и ∠АВР =∠АВО = 300, тогда для треугольника ΔАВР справедливо равенство Так как в треугольнике ΔАРО углы ∠РОА = ∠РАО, то треугольник ΔАРО – равнобедренный треугольник, АР = ОР = 6 и угол ∠АРО = ∠АРВ = 450. Площадь треугольника ΔАРО равна Ответ: 9√2
Понравилось? Нажмите
Оставить комментарий |
Рубрики
|