Задание 12. Математика ЕГЭ. Найдите точку максимума функции y = (2x – 3)cosx – 2sinx + 2, принадлежащую промежутку (0; π/2)

Задание.

Найдите точку максимума функции y = (2x – 3)cosx – 2sinx + 2, принадлежащую промежутку (0; π/2).

Решение:

Точка максимума функции – это точка экстремума функции, в которой производная меняет свой знак с положительного на отрицательный. Для вычисления точек экстремума необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Функция определена на всей числовой прямой.

Найдем производную функции:

y´ = (2x – 3)´·cosx + (2x – 3)·(cosx)´ – (2sinx)´

y´ = 2cosx – (2x – 3)sinx – 2cosx = – (2x – 3)sinx

y´ = – (2x – 3)sinx

y´ = 0

– (2x – 3)sinx = 0

(3 – 2x)sinx = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей, а другой при этом не теряет смысла, т.е.

3 – 2x = 0    и    sinx = 0

Решим 1 уравнение:

3 – 2x = 0

x = 3/2

x = 1,5

Решим 2 уравнение:

sinx = 0

x = 0 не принадлежит промежутку (0; π/2)

Отметим точку x = 1,5 на числовой прямой, учитывая промежуток (0; π/2) и найдем знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную (см. рисунок)

В точке x = 1,5 производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это искомая точка максимума.

Ответ: 1,5

Понравилось? Нажмите