Задание 13. Математика ЕГЭ. Решите тригонометрическое уравнение

Задание.

а) Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [- 3π/2; π].

Решение:

а) Решите уравнение

ОДЗ уравнения — все числа

Упростим данное уравнение.

Преобразуем cos2x, для этого используем формулу двойного аргумента , получим:  cos2x = 2cos²x – 1.

Преобразуем sin(5π/2 — x) = sin(2π + π/2 — x) = sin(π/2 — x).

Далее воспользуемся формулами приведения.

Так как под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится выражение (π/2 — x), то наименование тригонометрической функции меняем на родственное, т. е. синус — на косинус.

Так как  (π/2 — x) — аргумент  из первой четверти, то в ней преобразуемая функция синус имеет знак плюс. Получим:

sin(5π/2 — x) = cosx.

Тогда данное уравнение примет вид:

2cos²x – 1 — 1 = √2cosx.

Приравняем данное уравнение к нулю, получим:

2cos²x — √2cosx — 2 = 0.

Введем новую переменную, пусть cosx = a, где  — 1 ≤ a ≤ 1. Получим:

2a² — √2a – 2 = 0

D = 18

a₁ = √2;    a₂ = — √2/2

Вернемся к первоначальной переменной, получим 2 уравнения:

1) 

Уравнение не имеет корней, так как — 1 ≤ cosx ≤ 1.

2) 

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 3π/2; π].

Для первого корня:

Для второго корня:

Ответ:

Понравилось? Нажмите