Задание 14. ЕГЭ. В правильной треугольной усечённой пирамиде ABCA1B1C1 площадь нижнего основания ABC в четыре раза больше площади меньшего основания A1B1C1.

Задание. В правильной треугольной усечённой пирамиде ABCA1B1C1 площадь нижнего основания ABC в четыре раза больше площади меньшего основания A1B1C1. Через ребро AC проведена плоскость α, которая пересекает ребро BB1 в точке K и делит пирамиду на два многогранника равного объема.

а) Докажите, что точка K делит ребро BB1 в отношении 7 : 1, считая от точки B.

б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью α, если высота пирамиды равна 2√2, а ребро меньшего основания равно 2√6.

Решение:

а) Докажите, что точка K делит ребро BB1 в отношении 7 : 1, считая от точки B.

Пусть площадь нижнего  основания SABC = S, площадь верхнего основания SA1B1C1 = S1, высота усечённой пирамиде ABCA1B1C1 равна B1H1 = h, высота пирамиды KABC равна KH = h1.

По условию площадь нижнего основания ABC в четыре раза больше площади меньшего основания A1B1C1, т. е. S = 4S1.

Плоскость α делит пирамиду на два многогранника равного объема, т. е. Vус.пир. = 2VKABC, или

(1)

Объем усеченной пирамиды VABCA1B1C1 вычисляется по формуле

Объем пирамиды VKABC вычисляется по формуле

Подставим найденные объемы в формулу (1), получим

Треугольники ΔB1H1B и ΔKHB подобны (по 1 признаку подобия треугольников; ∠B – общий, ∠H1 = ∠H – прямые углы), следовательно,

т. е.

б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью α, если высота пирамиды равна 2√2, а ребро меньшего основания равно 2√6

Ребро меньшего основания правильной треугольной усечённой пирамиды А1В1 = 2√6,

 

а высота пирамиды В1Н1 = 2√2.

По условию ABCA1B1C1– правильная усеченная пирамида, поэтому треугольники ΔАВС и ΔА1В1С1 подобны. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, т. е.

Значит,

Медиана BF треугольника ΔАВС является его высотой.

Из прямоугольного треугольника ΔАВF (∠F = 900) найдем BF:

Точки О и О1 – центры треугольников ΔАВС и ΔА1В1С1, т. е. точки О и О1 – точки пересечения медиан, биссектрис и высот треугольников ΔАВС и ΔА1В1С1.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины, т. е.

Так как треугольники ΔАВС и ΔА1В1С1 подобны (k = 2), то

Тогда B1O1 = OH1 = H1B = 2√2.

Так как треугольники ΔB1H1B и ΔKHB подобны, найдем KH и HB:

Из прямоугольного треугольника ΔKFH (∠H = 900) найдем KF:

Площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью α (ΔACK) равна

Ответ: 13√6

Понравилось? Нажмите
Рубрики
Яндекс.Метрика