Задание 14. ЕГЭ. В правильной треугольной усечённой пирамиде ABCA1B1C1 площадь нижнего основания ABC в девять раз больше площади меньшего основания A1B1C1.

Задание. В правильной треугольной усечённой пирамиде ABCA1B1C1 площадь нижнего основания ABC в девять раз больше площади меньшего основания A1B1C1. Через ребро AВ проведена плоскость α, которая пересекает ребро СС1 в точке N и делит пирамиду на два многогранника равного объема.

а) Докажите, что точка N делит ребро CC1 в отношении 5 : 13, считая от точки C1.

б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью α, если высота пирамиды равна 13, а ребро меньшего основания равно 3.

Решение:

а) Докажите, что точка N делит ребро CC1 в отношении 5 : 13, считая от точки C1.

Пусть площадь нижнего основания SABC = S, площадь верхнего основания SA1B1C1 = S1, высота усечённой пирамиды ABCA1B1C1 равна C1H1 = h, высота пирамиды NABC равна NH = h1.

По условию площадь нижнего основания ABC в девять раз больше площади меньшего основания A1B1C1, т. е. S = 9S1.

Плоскость α, которая пересекает ребро СС1 в точке N, делит пирамиду на два многогранника равного объема, т. е. Vус.пир. = 2VNABC, или

(1)

Объем усеченной пирамиды VABCA1B1C1 вычисляется по формуле

Объем пирамиды VNABC вычисляется по формуле

Подставим найденные объемы в формулу (1), получим

Треугольники ΔC1H1C и ΔNHC подобны (по первому признаку подобия треугольников; ∠C – общий,  ∠H1 = ∠H – прямые углы), следовательно,

т. е.

б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью α, если высота пирамиды равна 13, а ребро меньшего основания равно 3.

Ребро меньшего основания правильной треугольной усечённой пирамиды А1C1 = А1B1 = B1C1 = 3,

а высота пирамиды C1Н1 = 13.

По условию ABCA1B1C1– правильная усеченная пирамида, поэтому треугольники ΔАВС и ΔА1В1С1 подобны.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, т. е.

Значит,

Медиана CF треугольника ΔАВС является его высотой.

Из прямоугольного треугольника ΔАCF (ÐF = 900) найдем CF:

Точки О и О1 – центры треугольников ΔАВС и ΔА1В1С1, т. е. точки О и О1 – точки пересечения медиан, биссектрис и высот треугольников ΔАВС и ΔА1В1С1.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины, т. е.

Так как треугольники ΔАВС и ΔА1В1С1 подобны (k = 3), то

Тогда H1C = CO – OH1 = 3√3 — √3 = 2√3

Так как треугольники ΔC1H1C и ΔNHC подобны, найдем NH и HC:

Из прямоугольного треугольника ΔNFH (ÐH = 900) найдем NF:

Площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью α (ΔABN) равна

Ответ: 48,5

Понравилось? Нажмите
Рубрики
Яндекс.Метрика