Задание 14. Математика ЕГЭ. Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5. Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.

Задание.

Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5.

а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.

б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.

Решение:

а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.

Так как сечение проходит через взаимно перпендикулярные образующие, то искомое сечение есть прямоугольный треугольник ∆АВС. Угол ∠АСВ = 90°, АС и ВС – катеты, АВ – гипотенуза.

 

б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.

Расстоянием от точки до плоскости называется перпендикуляр, проведенный от точки до данной плоскости.

Треугольник ∆АВС – равнобедренный, так как АС = ВС (образующие конуса). Тогда СМ – медиана и высота треугольника ∆АВС. Треугольник ∆АОВ – равнобедренный, так как АО = ОВ = R_осн. Тогда ОМ – медиана и высота треугольника ∆АОВ.

Прямая СО перпендикулярна плоскости основания, СМ – наклонная к плоскости основания, МО – проекция наклонной МО на плоскость основания. Точка М – основание наклонной, через точку М проходит прямая АВ перпендикулярно проекции МО, тогда по теореме о трех перпендикулярах прямая АВ перпендикулярна наклонной СМ.

Прямая АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым СМ и МО, лежащим в плоскости СМО, следовательно, АВ перпендикулярна плоскости СМО. АВ лежит в плоскости АВС, значит, плоскости СМО и АВС перпендикулярны. Следовательно, расстоянием от центра О основания окружности до плоскости сечения АВС будет являться перпендикуляр ОК (высота треугольника ∆МОС).

Из прямоугольного треугольника ∆АСО найдем АС:

АС² = АО² + ОС²

АС² = 12² + 5² = 169

АС = 13

Из прямоугольного треугольника ∆АВС найдем АВ:

АВ² = АС² + ВС²

АВ² = 13² + 13² = 338

АВ = 13√2

МВ = 1/2·АВ

МВ = (13√2)/2

Из прямоугольного треугольника ∆МВО найдем ОМ:

ОМ² = ОВ² – МВ²

Из прямоугольного треугольника ∆МВС найдем МС:

МС² = ВС² – ВМ²

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆МОС, площадь этого треугольника можно найти по формуле:

или по формуле:

Ответ: 

Понравилось? Нажмите