Задание 14. Математика ЕГЭ. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1.

Задание.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1.

а) Постройте прямую пересечения плоскости SAD с плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой AS.

б) Найдите угол между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой AS.

Решение: 

а) Постройте прямую пересечения плоскости SAD с плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой AS.

Построим плоскость, проходящую через точку В перпендикулярно прямой AS. Прямая AS перпендикулярна секущей плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Так как все ребра правильной пирамиды равны, то грани пирамиды являются равносторонними треугольниками. Проведем в треугольниках ∆ABS и ∆ADS медианы BN и DN соответственно. Медианы BN и DN в равносторонних треугольниках являются высотами, следовательно, BN и DN перпендикулярны AS. Значит, секущая плоскость BND проходит через точку В и перпендикулярна прямой AS. Секущая плоскость BND построена. Точки D и N лежат в плоскостях BND и SAD, значит, DN есть прямая пересечения данных плоскостей.

б) Найдите угол между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой AS.

Найдем угол между плоскостями BND и SAD, проведем перпендикуляры к прямой пересечения DN этих прямых. Прямая AN лежит в плоскости SAD и перпендикулярна DN. В плоскости BND проведем MN перпендикулярно DN. Угол ∠ANM – угол между плоскостями BND и SAD. Найдем величину этого угла. Так как за величину угла между двумя плоскостями берется величина острого двугранного угла (взят модуль), по теореме косинусов найдем величину угла ∠ANM, получим

AM² = MN² + AN² — 2·MN·AN·cos∠ANM

 (1)

Так как точка N – середина ребра AS, тогда

AN = 1/2

Из прямоугольного треугольника  ∆ABD по теореме Пифагора найдем BD:

BD² = AB² + AD²

BD² = 1² + 1² = 2

BD = √2

BO = OD = √2/2

BD = AC

AO = √2/2

Из прямоугольного треугольника  ∆AND по теореме Пифагора найдем DN:

DN² = AD² – AN²

DN² = 1² – (1/2)² = 1 – 1/4 = 3/4

DN = √3/2

Из прямоугольного треугольника  ∆DON найдем cos∠ODN и tg∠ODN:

ON – средняя линия треугольника ∆ASC, SC = 1, следовательно, ON = 1/2, тогда

Из прямоугольного треугольника  ∆DNM найдем MN и MD:

OM = MD – OD

Из прямоугольного треугольника  ∆AOM найдем AM:

AM² = OA² + OM²

Подставим полученные данные в формулу (1), получим

cos∠ANM = 0

∠ANM = 90°

Ответ: 90°

Понравилось? Нажмите