Задание 14. Математика ЕГЭ. Вокруг куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 3 описана сфера. На ребре СС1 взята точка М так, что плоскость, проходящая через точки А, В и М образует угол 15° с плоскостью АВС.Задание. Вокруг куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 3 описана сфера. На ребре СС1 взята точка М так, что плоскость, проходящая через точки А, В и М образует угол 15° с плоскостью АВС. а) Постройте линию пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки А, В и М. б) Найдите длину линии пересечения плоскости АВМ и сферы. Решение: а) Постройте линию пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки А, В и М. Сечение сферы плоскостью является окружностью. Пусть прямая ВМ вторично пересекает сферу в точке К. Искомая линия – описанная окружность около прямоугольного треугольника АВК. б) Найдите длину линии пересечения плоскости АВМ и сферы. Точка К – точка пересечения прямой ВМ с описанной около квадрата ВВ1С1С окружностью. Так как ВС1 – диаметр этой окружности, то угол ∠ВКС1 = 90°, следовательно, треугольник ∆ ВКС1 – прямоугольный, поэтому BK = BC1·cos∠МВС1 Так как ∠МВС = 15°, то ∠МВС1 = 45° — 15° = 30° Из прямоугольного треугольника ∆ ВСС1 найдем ВС1: ВС12 = ВС2 + СС12 ВС12 = 32 + 32 = 18 ВС1= 3√2 Так как треугольник ∆АВК – прямоугольный, то длина описанной вокруг него окружности равна произведению ее диаметра на число π. АК2 = АВ2 + ВК2 Тогда длина линия пересечения плоскости АВМ и сферы равна:
Понравилось? Нажмите
Оставить комментарий |
Рубрики
|