Задание 16. Математика ЕГЭ.Диагональ АС прямоугольника ABCD с центром О образует со стороной АВ угол 30°. Точка Е лежит вне прямоугольника, причем ∠ВЕС = 120°.

Задание. Диагональ АС прямоугольника ABCD с центром О образует со стороной АВ угол 30°. Точка Е лежит вне прямоугольника, причем ∠ВЕС = 120°.

а) Докажите, что ∠СВЕ = ∠СОЕ.

б) Прямая ОЕ пересекает сторону AD прямоугольника в точке К. Найдите ЕК, если известно, что ВЕ = 40 и СЕ = 24.

Решение:

а) Докажите, что ∠СВЕ = ∠СОЕ.

Треугольник ∆АОВ – равнобедренный, по условию угол ∠ОАВ = 30°, ∠АВО = ∠ОАВ. Внешний угол ∠СОВ треугольника ∆АОВ равен сумме двух углов этого треугольника, не смежных с ним, т. е. ∠СОВ = 60°. Так как в четырехугольнике ОСЕВ сумма противоположных углов ∠СОВ + ∠ВЕС = 60° + 120° = 180°, то около него можно описать окружность. Вписанный угол ∠СВЕ опирается на дугу СЕ окружности, вписанный угол ∠СОЕ также опирается на дугу СЕ этой окружности, следовательно, ∠СВЕ = ∠СОЕ.

б) Прямая ОЕ пересекает сторону AD прямоугольника в точке Е. Найдите ЕК, если известно, что ВЕ = 40 и СЕ = 24.

Рассмотрим треугольник ∆ВСЕ, он состоит из двух треугольников ∆CFE и ∆BFE, тогда

Подставим полученные данные в первую формулу, получим

FE = 15

По теореме косинусов в треугольнике ∆ВСЕ найдем ВС:

BC² = CE² + BE² – 2·CE·BE·cos∠ВЕС

BC² = 24² + 40² – 2·24·40·cos120° = 576 + 1600 + 960 = 3136

BC = 56

Вписанные углы ∠ВЕO и ∠СЕО опираются на равные хорды ВО и СО, значит, ∠ВЕO = ∠СЕО и ЕО — биссектриса угла ∠ВЕС. Точка F — точка пересечения биссектрисы ЕО со стороной ВС.

По свойству биссектрисы треугольника:

Тогда

BF = BC – CF = 56 – 21 =35

ВС и ОЕ – пересекающиеся хорды окружности, тогда произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды, т. е.

OF · FE = CF · BF

OF · 15 = 21 · 35

OF = 49

Треугольники ∆COF = ∆AOK (т. к. AO = OC, ∠KAO = ∠OCF, ∠KOA = ∠COF), следовательно,

KO = OF = 49

Тогда EK = KO + OF + FE = 49 + 49 + 15 = 113

Ответ: 113

Понравилось? Нажмите