Задание 16. Математика ЕГЭ. Диагонали AC и BD четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке Р. Найдите площадь треугольника CODЗадание. Диагонали AC и BD четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке Р, причем BC = CD. а) Докажите, что AB : BC = AP : PD. б) Найдите площадь треугольника COD, где О – центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD – диаметр описанной около четырехугольника ABCD окружности, АВ = 5, а ВС = 5√2. Решение: а) Докажите, что AB : BC = AP : PD. Рассмотрим треугольники ∆ABC и ∆APD. Вписанные углы ∠BAC = ∠CAD, так как опираются на равные хорды (BC = CD). Вписанные углы ∠ACB = ∠ADB, так как опираются на одну и ту же дугу АВ. Следовательно, треугольники ∆ABC и ∆APD подобные треугольники. Тогда б) Найдите площадь треугольника COD, где О – центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD – диаметр описанной около четырехугольника ABCD окружности, АВ = 5, а ВС = 5√2. Так как BD – диаметр окружности, то вписанный угол ∠BCD = 90°, следовательно, треугольник ∆BCD – прямоугольный равнобедренный треугольник. По теореме Пифагора найдем BD: BD2 = BC2 + CD2 BD2 = (5√2)2 + (5√2)2 = 100 BD = 10 Так как BD – диаметр окружности, то вписанный угол ∠BAD = 90°, следовательно, треугольник ∆BAD – прямоугольный треугольник. В прямоугольном треугольнике ∆BAD гипотенуза BD = 10, катет АВ = 5. По свойству прямоугольных треугольников: если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. Следовательно, угол ∠ADB = 30°, а угол ∠ABD = 60°. Вписанные углы ∠ABD = ∠ACD, так как опираются на одну и ту же дугу АD, значит, ∠ABD = ∠ACD = ∠ОCD = 60°. Точка О – центр вписанной в треугольник ∆ABD окружности. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис. Тогда точка О лежит на биссектрисе АС угла ∠BAD и на биссектрисе OD угла ∠ADВ. Так как угол ∠ADB = 30°, то угол ∠ADO = ∠ODB = 15°. Так как угол ∠BAD = 90°, то угол ∠BAO = ∠OAD = 45°. Угол ∠СОD – внешний угол треугольника ∆AOD, следовательно, ∠СOD = ∠OAD + ∠ADO = 45° + 15° = 60°. Угол ∠СOD = 60°. Тогда треугольник ∆COD – равносторонний треугольник, в котором OC = OD = CD = 5√2. Найдем площадь треугольника ∆COD:
Понравилось? Нажмите
Оставить комментарий |
Рубрики
|
Спасибо!