Задание 16. Математика ЕГЭ.Две окружности касаются внутренним образом в точке А, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда ВС большей окружности касается меньшей в точке Р.

Задание. Две окружности касаются внутренним образом в точке А, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда ВС большей окружности касается меньшей в точке Р. Хорды АВ и АС пересекают меньшую окружность в точках К и М соответственно.

а) Докажите, что прямые КМ и ВС параллельны.

б) Пусть точка L – точка пересечения отрезков КМ и АР. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а ВС = 16.

Решение:

а) Докажите, что прямые КМ и ВС параллельны.

Точка О – центр большей окружности. Так как окружности касаются внутренним образом и меньшая окружность проходит через центр большей окружности, то AО – диаметр меньшей окружности.

Точка M лежит на окружности с диаметром AО, значит, угол ∠AMО = 90°, т. е. отрезок MО перпендикулярен отрезку AC. Отрезок MО – высота равнобедренного треугольника ∆AOC, следовательно, MО – медиана треугольника ∆AOC. Поэтому точка M – середина отрезка AC.

Точка K лежит на окружности с диаметром AО, значит, угол ∠АKО = 90°, т. е. отрезок KО перпендикулярен отрезку AB. Отрезок KО – высота равнобедренного треугольника ∆AOB, следовательно, KО – медиана треугольника ∆AOB. Поэтому точка K – середина отрезка AB.

Тогда KM – средняя линия треугольника ∆ABC, следовательно, KM параллельна BC.

б) Пусть точка L – точка пересечения отрезков КМ и АР. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а ВС = 16.

 

Опустим перпендикуляр ОН на хорду ВС. Так как треугольник ∆ВОС – равнобедренный треугольник, то точка Н – середина ВС. Тогда ВН = НС = 8.

Из прямоугольного треугольника ∆ВОН по теореме Пифагора найдем ОН:

ОН² = ОВ² – ВН²

ОН² = 10² – 8² = 36

ОН = 6

Точка Q – центр меньшей окружности, прямые QР и ОН параллельны. Опустим перпендикуляр QD на ОН, тогда ОD = OH – HD = 6 – 5 = 1.

Из прямоугольного треугольника ∆QOD по теореме Пифагора найдем QD:

QD² = QO² – OD²

QD² = 5² – 1² = 24

PH = QD

PH² = QD² = 24

Из прямоугольного треугольника ∆POH по теореме Пифагора найдем OP:

OP² = PH² + OH²

OP² = 24 + 6² = 60

Из прямоугольного треугольника ∆AOP по теореме Пифагора найдем AP:

AP² = AO² – OP²

AP² = 10² – 60 = 40

AP = 2√10

Так как KM – средняя линия  треугольника ∆ABC, то точка L – середина отрезка AP.

Ответ: √10

Понравилось? Нажмите