Задание 16. Математика ЕГЭ. Две окружности касаются внутренним образом в точке К, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке С.Задание. Две окружности касаются внутренним образом в точке К, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке С. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках А и В соответственно, а отрезки КС и АВ пересекаются в точке L. а) Докажите, что CN : CM = LB : LA. б) Найдите MN, если LB : LA = 2 : 3, а радиус малой окружности равен √23. Решение: а) Докажите, что CN : CM = LB : LA. Точка О – центр большей окружности. Так как окружности касаются внутренним образом и меньшая окружность проходит через центр большей окружности, то КО – диаметр меньшей окружности. Точка В лежит на окружности с диаметром КО, значит, угол ∠КВО = 90°, т. е. отрезок ВО перпендикулярен отрезку KN. Отрезок ВО – высота равнобедренного треугольника ∆KNO, следовательно, ВО – медиана треугольника ∆KNO. Поэтому точка В – середина отрезка KN. Точка А лежит на окружности с диаметром КО, значит, угол ∠КАО = 90°, т. е. отрезок АО перпендикулярен отрезку KМ. Отрезок АО – высота равнобедренного треугольника ∆KМO, следовательно, АО – медиана треугольника ∆KМO. Поэтому точка А – середина отрезка KМ. Тогда АВ – средняя линия треугольника ∆KMN, следовательно, АВ параллельна MN. Треугольники ∆AKL и ∆MKC – подобные треугольники (∠AKL – общий угол, ∠KAL = ∠KMC), следовательно, (1) Треугольники ∆LKB и ∆CKN – подобные треугольники (∠LKB – общий угол, ∠KLB = ∠KCN), следовательно, Из (1) и (2) равенств получаем: б) Найдите MN, если LB : LA = 2 : 3, а радиус малой окружности равен √23. Известно, что Пусть 1 часть равна x, тогда CN = 2x, MC = 3x, MN = 5x. В равнобедренном треугольнике ∆MON проведем высоту ОН, высота ОН также является медианой, значит, MH = HN = 2,5x. Из прямоугольного треугольника ∆MOH по теореме Пифагора найдем ОН: ОН2 = МО2 – МН2 МО = R = 2r = 2√23 ОН2 = (2√23)2 – (2,5x)2 = 92 – 6,25x2 Проведем OD перпендикулярно QC, DC = OH: QD = QC – DC QO = QC = r = √23 OD = CH = MH – MC = 2,5x – 2x = 0,5x. Из прямоугольного треугольника ∆QDO по теореме Пифагора: QO2 = DO2 + QD2 Условию задачи удовлетворяет значение x = 23/6, тогда MN = 5x = 5·(23/6) = 115/6. Ответ: 115/6
Понравилось? Нажмите
Оставить комментарий |
Рубрики
|
Почему когда находим OD MC становится 2х,хотя изначально это было 3х?(часть б)
Спасибо! Исправим)
Действительно , странно. По условию получается что MC больше чем MN , а по чертежу наоборот. Теперь поди разбери что делать.
Задача решена для CN:MC=3:2