Задание 16. Математика ЕГЭ. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 34 и 49 соответственно. Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.

Задание.

Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 34 и 49 соответственно.

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.

б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри окружности.

Решение:

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.

Средняя линия пересекает окружность, вписанную в треугольник АВС, если FH > EH.

FH = 2r

Радиус, вписанной в треугольник АВС окружности, найдем используя формулу:

P = 2·AB + AC

P = 2·49 + 34 = 132

Из треугольника ∆АВН по теореме Пифагора найдем ВН:

ВН² = АВ² – АН²

ВН² = 49² – 17² = 2401 – 289 = 2112 = 64·33

ВН = 8√33

Так как MN – средняя линия треугольника, то EH = 1/2 · BH

Сравниваем FH и EH:

Получим, что FH > EH, следовательно, средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.

б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри окружности.

Треугольник ∆OKL – равнобедренный треугольник, так как OK = OL = r.

ОЕ – высота и медиана треугольника ∆OKL, следовательно, KL = 2KE.

KE² = OK² – OE²  (1)

OE = EH – OH = EH – r.

Подставим полученные данные в формулу (1):

Ответ: 8

Понравилось? Нажмите