Задание 16. Математика ЕГЭ. Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N соответственно.

Задание. Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD  в точках M и N соответственно. Диагонали AC и BD пересекаются в точке О. Прямая MN пересекает стороны ОА и OD треугольника AOD в точках K и L соответственно.

а) Докажите, что MK = NL.

б) Найдите MN, если известно, что BC = 3, AD = 8 и MK : KL = 1 : 3.

 

Решение:

а) Докажите, что MK = NL.

Рассмотрим треугольники ∆АМК и ∆АВС: угол ∠А – общий, ∠АКМ = ∠АСВ, следовательно, треугольники ∆АМК и ∆АВС – подобные треугольники, получим:

(1)

Рассмотрим треугольники ∆CKN и ∆CAD: угол ∠ACD – общий, ∠CKN = ∠CAD, следовательно, треугольники ∆CKN и ∆CAD – подобные треугольники, получим:

KC = AC – AK

CN = DC – DN

(2)

Рассмотрим треугольники ∆DLN и ∆DВС: угол ∠D – общий, ∠DLN = ∠DВC, следовательно, треугольники ∆DLN и ∆DВС – подобные треугольники, получим:

(3)

Из (1), (2) и (3) формул получим:

Следовательно, MK = NL.

б) Найдите MN, если известно, что BC = 3, AD = 8 и MK : KL = 1 : 3.

Рассмотрим треугольники ∆МBL и ∆АВD: угол ∠B – общий, ∠BLМ = ∠ВDA, следовательно, треугольники ∆МBL и ∆АВD – подобные треугольники, получим:

(4)

По условию:

Тогда

KL = 3MK

ML = MK + KL = MK + 3MK = 4MK

MB = AB – AM

Подставим полученные данные в формулу (4):

Треугольники ∆АМК и ∆АВС – подобные треугольники, получим:

Тогда

6 – 3МК = 2МК

5МК = 6

МК = 6/5

MN = MK + KL + LN

KL = 3·(6/5) = 18/5

LN = MK = 6/5

Ответ: 6

Понравилось? Нажмите