Задание 16. Математика ЕГЭ.Точка В лежит на отрезке АС. Прямая, проходящая через точку А, касается окружности с диаметром ВС в точке М и второй раз пересекает окружность с диаметром АВ в точке К.

Задание. Точка В лежит на отрезке АС. Прямая, проходящая через точку А, касается окружности с диаметром ВС в точке М и второй раз пересекает окружность с диаметром АВ в точке К. Продолжение отрезка МВ пересекает окружность с диаметром АВ в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника DBC, если АК = 3 и МК = 12

Решение:

а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.

Вписанные углы ∠ВМС и ∠ADB опираются на диаметры ВС и АВ соответственно, поэтому ∠ВМС = ∠ADB = 90°. Прямые МС и AD перпендикулярны прямой MD, следовательно, МС и AD параллельны.

б) Найдите площадь треугольника DBC, если АК = 3 и МК = 12.

Так как AD и MC параллельны, то AMCD – трапеция. При пересечении диагоналей в произвольной трапеции образуются три пары равновеликих треугольников: ∆AMD и ∆ADC; ∆AMC и ∆MDC; ∆ABM и ∆DBC. Следовательно,

Вписанный угол ∠AKB опирается на диаметр АВ, значит, угол ∠AKB = 90°, т.е. КВ перпендикулярна АМ. Так как АМ – касательная к окружности с диаметром ВС, то МО перпендикулярна АМ. Следовательно, КВ параллельна МО. Треугольники ∆АКВ подобен ∆АМО, тогда

Пусть КВ = x, тогда МО = 5x. Проведем BN перпендикулярно МО, получим KMNB – прямоугольник. Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆BNO:

BO = MO = 5x

MN = KB = x

NO = MO – MN

NO = 5x – x = 4x

BN = KM = 12

По теореме Пифагора:

BO² = BN² + NO²

(5x)² = 12² + (4x)²

25x² = 144 + 16x²

9x² = 144

x² = 16

x = 4

KB = 4

AM = 15

Ответ: 30

Понравилось? Нажмите