Задание 16. Математика ЕГЭ. Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.

Задание. Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.

б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

Решение:

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.

 

Вневписанной окружностью называется окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.

Пусть угол ∠А = ∠С = α, так как треугольника ∆АВС — равнобедренный. Угол ∠DBC – внешний угол треугольника ∆АВС, поэтому ∠DBC = ∠А + ∠С = 2α.

Окружность касается сторон угла ∠DBC, значит, ВО – биссектриса угла ∠DBC, т. е. угол ∠DBО = ∠ОBC = α.

Получаем, что ∠DBО = ∠А = α. Соответственные углы ∠DBО и ∠А при пересечении прямых ВО и АМ секущей AD равны, то прямые ВО и АМ параллельны.

BH – высота треугольника ∆АВС, следовательно, BH перпендикулярна АМ.

АМ – касательная к окружности, следовательно, ОМ перпендикулярна АМ (ОМ – радиус окружности). Значит, ВН параллельна ОМ. Получаем, ВОМН – прямоугольник. Следовательно, радиус окружности равен высоте треугольника, опущенной на основании, т. е. R = BH.

 б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

Пусть радиус вневписанной окружности ОМ = R, а радиус вписанной в треугольник окружности QK = QH = r. Тогда по условию R = 4r.

Треугольники ∆АВН и ∆QВК – подобные треугольники (∠В – общий, ∠ВКQ = ∠ВНА), следовательно,

 

BH = OM = R = 4r

QB = BH – QH = 4r – r = 3r

Из прямоугольного треугольника ∆QBK по теореме Пифагора найдем BK:

BK² = QB² – KQ²

BK² = (3r)² – r² = 8r²

BK = 2√2r

AK = AB – BK

AK = 3√2r – 2√2r = √2r

Тогда отношение, в котором точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону, равно

Ответ: 1/2

Понравилось? Нажмите