Задание. Две окружности касаются внутренним образом в точке К, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке С. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках А и В соответственно, а отрезки КС и АВ пересекаются в точке L. а) Докажите, что CN : CM = LB : LA. б) Найдите MN, если LB : LA = 2 : 3, а радиус малой окружности равен √23. Решение: читать далее… Задание. Точка В лежит на отрезке АС. Прямая, проходящая через точку А, касается окружности с диаметром ВС в точке М и второй раз пересекает окружность с диаметром АВ в точке К. Продолжение отрезка МВ пересекает окружность с диаметром АВ в точке D. а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны. б) Найдите площадь треугольника DBC, если АК = 3 и МК = 12 Решение: читать далее… Задание. Диагонали AC и BD четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке Р, причем BC = CD. а) Докажите, что AB : BC = AP : PD. б) Найдите площадь треугольника COD, где О – центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD – диаметр описанной около четырехугольника ABCD окружности, АВ = 5, а ВС = 5√2. Решение: читать далее… Задание. В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине А расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая – боковых сторон, меньшего основания ВС и первой окружности. а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что AP/PD = sinD. б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 4/3 и 1/3. Решение: читать далее… Задание. В равнобедренном треугольнике ABC на сторону BC опущена высота AH. ИЗ точки H на стороны AB и AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно. а) Докажите, что AM = MK. б) Найдите MK, если AB = 10, AC = 12. Решение: читать далее… |
Рубрики
|